Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．
（1）若b=2，试解不等式f（x）＜10；
（2）若f（x）在区间[﹣4，﹣2]上的最小值为﹣11，试求b的值；
（3）若|f（x）﹣5|≤1在区间（0，1）上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+4x+5＜10，

即x2+4x﹣5＜0，

即（x+5）（x﹣1）＜0，

解得﹣5＜x＜1，

故不等式的解集为（﹣5，1）

（2）解：f（x）=x2+2bx+5=（x+b）2﹣b2+5，

其对称轴为x=﹣b，

当b＜﹣4时，在区间[﹣4，﹣2]上单调递增，故ymin=16﹣8x+5=﹣11，解得b=4，舍去

当﹣4≤b≤﹣2时，在对称轴处取最小值，故ymin=﹣b2+5=﹣11，解得b=﹣4，

当b＞﹣2时，在区间[﹣4，﹣2]上单调递减，故ymin=4﹣4b+5=﹣11，解得b=5，

综上所述：b的值为﹣4或5

（3）解：|f（x）﹣5|≤1在区间（0，1）上恒成立，

∴|x2+bx|≤1在区间（0，1）上恒成立，

∴﹣1≤x2+2bx≤1，

∴﹣x﹣ ≤2b≤﹣x+

∵函数y=﹣x﹣ 在（0，1）上为增函数，y＞﹣1﹣1=﹣2，

函数y=﹣x+ 在（0，1）上为减函数，y＜﹣1+1=0，

∴﹣2≤2b≤0，

解得﹣1≤b≤0，

故b的取值范围为[﹣1.0]

【解析】（1）根据一元二次不等式的解法解得即可．（2）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，（3）利用函数的单调性分别求出y= ﹣x 的最小值为0，y=﹣x﹣ 的最大值为﹣2，由此求得b的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．