Question

【题目】已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+2，其中m∈R．
（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=log2x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t2﹣3t+2=0，解得：t=1或t=2

所以x=2或x=4

（2）解：令t=log2x，x∈[1，2]，

则t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，

其图象开口朝上，且以直线x= 为对称轴；

①当 ＜0，即m=0时，

则t=0，即x=1时，f（x）min=2；

②当0≤ ≤1，即0≤m≤2时，

则t=m，即x=2m时，f（x）min= +2；

③当 ＞1，即m＞2时，

则t=1，即m=2时，f（x）min=3﹣m；

综上f（x）min=

【解析】（1）令t=log2x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t2﹣3t+2=0，解得答案；（2）令t=log2x，x∈[1，2]，则t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数在闭区间上的最值，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当时，当时，；当时在上递减，当时，才能得出正确答案．