Question

【题目】已知椭圆的下顶点为，右顶点为，离心率，抛物线的焦点为，是抛物线上一点，抛物线在点处的切线为，且.

(1)求直线的方程；

(2)若与椭圆相交于，两点，且，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】【试题分析】（1）利用题目所给离心率的值求出直线的斜率，即直线的斜率。利用导数求得切点坐标并求出切线方程.（2）联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用三角形的面积列方程求得的值，进而求得椭圆的方程.

【试题解析】

（Ⅰ）因为， 所以， 所以

又因为∥， 所以的斜率为

设，过点与相切的直线，由得，解得

所以， 所以直线的方程为

（Ⅱ）设，由

得，，

且，即，

所以，

【法一】中，令得，交轴于,

又抛物线焦点，所以

所以，解得，

所以椭圆的方程

【法二】

，抛物线焦点，则

所以，解得，

所以椭圆的方程