【题目】已知函数在点
处的切线是
.
(1)求函数的极值;
(2)当恒成立时,求实数
的取值范围(
为自然对数的底数).
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意可得函数的解析式(
),则
,
的极大值为
,无极小值.
(2)原问题等价于在
恒成立,
【法一】设,由题意可得
;
.据此有
,解得
,故实数
的取值范围是
.
【法二】设(
),则
,
结合导函数的解析式可知在
上单调递增,在
上单调递减.所以
,即
,则实数
的取值范围是
.
试题解析:
(1)因为,所以
,
因为点处的切线是
,所以
,且
所以,即
(
)
所以,所以在
上递增,在
上递减
所以的极大值为
,无极小值.
(2)当在
恒成立时,由(1)
,
即在
恒成立,
【法一】设,则
,
,
又因为,所以当
时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
;
在
上单调递增,在
上单调递减,
.
所以均在
处取得最值,所以要使
恒成立,
只需,即
,解得
,又
,
所以实数的取值范围是
.
【法二】设(
),则
当时,
,
,则
,
,即
当时,
,
,则
,
,即
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
所以,即
,又
所以实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
的参数方程是
(
是参数),圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆心的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆
引切线,并切线长的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的多面体中,底面四边形
是菱形,
,
,
相交于
,
,
在平面
上的射影恰好是线段
的中点
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的下顶点为
,右顶点为
,离心率
,抛物线
的焦点为
,
是抛物线
上一点,抛物线
在点
处的切线为
,且
.
(1)求直线的方程;
(2)若与椭圆
相交于
,
两点,且
,求
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市岁的人群抽样了
人,回答问题统计结果如图表所示:
分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 | |
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 |
(1)分别求出,
,
,
的值;
(2)从第,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:所抽取的
人中至少有一个第
组的人的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆(
)的左、右焦点分别为
,
,过
作垂直于
轴的直线
与椭圆
在第一象限交于点
,若
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ),
是椭圆
上位于直线
两侧的两点.若直线
过点
,且
,求直线
的方程.
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