【题目】已知椭圆
的两个焦点为
，
，离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何条件得
，再由离心率解得
，即得
，（2）由直线
与椭圆有两个交点得判别式大于零，解得m取值范围，再根据点斜式写出线段
的垂直平分线方程，解得
点坐标，根据点到直线距离公式得
高，根据弦长公式得底边边长，根据三角形面积公式得面积函数关系式，最后根据二次函数性质求最大值.
试题解析：（1）由离心率
，半焦距，解得.
所以
，所以椭圆
的方程是.
（2）解：设
，
，
据
得
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴
，又
，所以
且.
由根与系数的关系得
，
设线段中点为
，点横坐标
，
，∴
，
∴线段垂直平分线方程为
，∴点坐标为
，
点到直线的距离
，
又
，
所以
，所以当
时，三角形
面积最大，且
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,…8,其中
为标准，
为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数
的概率分布列如下所示：
| 5 | 6 | 7 | 8 |
0.4 | b | 0.1 |
且
的数学期望
, 求a,b的值;
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数
，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注: ①产品的“性价比”=
；②“性价比”大的产品更具可购买性.
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【题目】已知函数
，
.（
为自然对数的底数）
（1）设
；
①若函数
在
处的切线过点
，求
的值；
②当
时，若函数在
上没有零点，求
的取值范围.
（2）设函数
，且
，求证：当
时，
.
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【题目】平面直角坐标系
中，已知椭圆
（
）的左焦点为
，离心率为
，过点且垂直于长轴的弦长为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设点
分别是椭圆的左、右顶点，若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
、
．
①求证：
；
②求
面积的最大值．
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【题目】已知椭圆
的右焦点为
，原点为
，椭圆
的动弦
过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为
，过且垂直于线段的直线交直线
于点
．
（1）证明：
三点共线；
（2）求
的最大值．
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【题目】如图,在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，点
在棱
上，且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）是否存在实数
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（其中
为参数），曲线
，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的极坐标方程；
(2)若射线
与曲线，分别交于
两点，求
.
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