Question

【题目】如图,在四棱锥中，平面平面，，，，，点在棱上，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：(1)由边长和勾股定理得，又平面平面，由定理证得平面 (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面的一个法向量为

，设平面的一个法向量为，由题意计算得出结果

解析：（Ⅰ）过点作交于，

，，

四边形为正方形，且，

在中，，在中，

又平面平面，平面平面

平面

平面，且

平面

（Ⅱ）

又平面平面，平面平面

平面 ，

以点为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

假设存在实数使得二面角的余弦值为，令

点在棱上，

设

则，

平面，平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

由得令得

取

化简得又

存在实数使得二面角的余弦值为.