【题目】设函数(其中
).
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,讨论函数
的零点个数.
【答案】(1)答案见解析;(2)在定义域
上只有唯一的零点.
【解析】试题分析:(1)由题意,求得,分类讨论,即可求得函数的单调区间;
(2)由(1)值,再分
和
两种讨论,利用函数的图象,进而确定函数的零点个数.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,
①当时,令
,解得
,所以
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
②当时,令
,解得
或
,
所以在
和
上单调递增,在
上单调递减,
③当时,
,
在
上单调递增,
④当时,令
,解得
或
,所以
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(2),
①当时,
,又
在
上单调递增,所以函数
在
上只有一个零点,
在区间中,因为
,
取,于是
,
又在
上单调递减,故
在
上也只有一个零点,
所以,函数在定义域
上有两个零点;
②当时,
在单调递增区间
内,只有
.
而在区间内
,即
在此区间内无零点.
所以,函数在定义域
上只有唯一的零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农民户籍各50人;男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择生育二的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.(
为自然对数的底数)
(1)设;
①若函数在
处的切线过点
,求
的值;
②当时,若函数
在
上没有零点,求
的取值范围.
(2)设函数,且
,求证:当
时,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
(
)的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
、
.
①求证:;
②求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,原点为
,椭圆
的动弦
过焦点
且不垂直于坐标轴,弦
的中点为
,过
且垂直于线段
的直线交直线
于点
.
(1)证明:三点共线;
(2)求的最大值.
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【题目】近年来随着素质教育的不断推进,高考改革趋势明显.国家教育部先后出台了有关高考的《学业水平考试》、《综合素质评价》、《加分项目瘦身与自主招生》三个重磅文件,引起社会极大关注,有人说:男孩苦,女孩乐!为了了解某地区学生和包括老师,家长在内的社会人士对高考改革的看法,某媒体在该地区选择了人,,就是否“赞同改革”进行调查,调查统计的结果如下表:
赞同 | 不赞同 | 无所谓 | |
在校学生 | |||
社会人士 |
已知在全体样本中随机抽取人,抽到持“不赞同”态度的人的概率为
.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈,文应该在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“不赞同”态度的人中,用分层抽样方法抽取人,若从
人中任抽
人进一步深入调查,为更多了解学生的意愿,要求在校学生人数不少于社会人士人士,求恰好抽到两名在校学生的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,点
在棱
上,且
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)是否存在实数,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)函数的图象与
的图象无公共点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出整数
的最大值;若不存在,请说理由.
(参考数据:,
,
).
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【题目】【2018山西太原市高三3月模拟】已知椭圆的左、右顶点分别为
,右焦点为
,点
在椭圆
上.
(I)求椭圆方程;
(II)若直线与椭圆
交于
两点,已知直线
与
相交于点
,证明:点
在定直线上,并求出定直线的方程.
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