Question

【题目】已知数列，其前项和为，满足，其中，.

（1）若，求证：数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求的值；

（3）若，且，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意得到，即，所以，故数列是等比数列；（2）是等比数列，设其公比为，根据，，，可构造方程进而求得参数值；（3）先求得，由，得，两式相减得：，化简得到，再由迭代的方法得到数列进而证得数列是等差数列.

解析：

（1）证明：若，则当(),

所以，

即，

所以，

又由，，

得，，即，

所以，

故数列是等比数列．

（2）若是等比数列，设其公比为（ ），

当时，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①

当时，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②

当时，，即，得

　　　　　　　　　，　　　　　　　　③

②①，得 ，

③②，得 ，

解得．

代入①式，得．此时()，

所以，是公比为１的等比数列，

故．

（3）证明：若，由，得，

　　又，解得．

由，， ，，代入得，

所以，，成等差数列，

由，得，

两式相减得：

即

所以

相减得：

所以

所以

，

因为，所以，

即数列是等差数列.