Question

如图所示，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁＝60°，AD₁＝4，点P是AD₁上的动点．

(1)当P为AD₁的中点时，求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值；

(2)求PB₁与平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．在Rt△AA1D中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝AD1＝2，A1E＝A1D1＝1． 　　又PE＝AA1＝． 　　∴在Rt△B1PE中，B1P＝＝2， 　　cos∠B1PE＝＝＝． 　　∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为． 　　解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A1(0，0，0)，A(0，0，2)，B1(2，0，0)，P(0，1，)，∴＝(0，0，2)，＝(－2，1，)， 　　∴cos＜，＞ 　　∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为． 　　(2)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1， 　　∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1＝＝，当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时 　　A1P⊥AD1，由A1P＝＝，得tan∠B1PA1＝，即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为．