Question

（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知函数y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得

π

2ω

≥

2π

3

，且-

π

2ω

≤-

π

4

，解出即可；
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2sin2(x+

π

6

)+1．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上单调递增，且ω＞0，
∴

π

2ω

≥

2π

3

，且-

π

2ω

≤-

π

4

，
解得0＜ω≤

3

4

．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，在向上平移1个单位，得到y=2sin2(x+

π

6

)+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+

π

6

)+1，
令g（x）=0，得x=kπ+

5π

12

，或x=kπ+

3π

4

（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为

π

3

或

2π

3

．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-14π≥

π

3

．
另一方面，在区间[

5π

12

，14π+

π

3

+

5π

12

]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+

π

3

=

43π

3

．

点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．