【题目】已知函数的图像过点
,且对任意的
都有不等式
成立.若函数
有三个不同的零点,则实数
的取值范围是__________________.
【答案】
【解析】
首先由函数的性质确定函数的解析式,然后将原问题转化为两个函数有三个交点的问题,考查临界条件,求得临界值即可确定实数
的取值范围.
注意到时,
,
即是函数
的切线,且切点坐标为
,
据此结合题意可知:是函数
的切线,且切点坐标为
,
由函数的解析式有,故:
,解得:
,
则函数的解析式为,
函数有三个不同的零点,
则函数与函数
有三个不同的交点,
注意到,
绘制函数图像如图所示,考查如图所示的临界情况,
当函数与函数
只有两个交点时:
若一次函数过点
,则:
且
,解得
;
若一次函数过点
,则:
且
,解得
;
若一次函数与二次函数
在区间
内相切,
由可得
,
设切点坐标为,则切线的斜率为:
,
切线方程为:,
整理可得:,
由于,考查一次函数斜率与
轴截距的关系可得:
,解得:
,
则切线的斜率为:.
综上可得:实数的取值范围是
.
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【题目】已知,点
满足
,记点
的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
,且与轨迹
相交于
两点.
(1)求轨迹的方程;
(2)求斜率的取值范围;
(3)在轴上是否存在定点
,使得无论直线
绕点
怎样转动,总有
成立?如果存在,求出定点
;如果不存在,请说明理由.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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【题目】如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=
,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)证明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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【题目】口袋里装有编号为1,2,3,4的四个小球,有放回的抽取两次,记录两次取到小球的编号分别为,
.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴的交点为
,与
的交点为
,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与抛物线
交于
,
两点,连接
并延长交抛物线的准线于点
,当直线
恰与抛物线相切时,求直线
的方程.
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【题目】已知a∈R,命题p:“x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
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