Question

【题目】已知函数的图像过点，且对任意的都有不等式成立.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先由函数的性质确定函数的解析式，然后将原问题转化为两个函数有三个交点的问题，考查临界条件，求得临界值即可确定实数的取值范围.

注意到时,,

即是函数的切线，且切点坐标为，

据此结合题意可知：是函数的切线，且切点坐标为，

由函数的解析式有，故：

，解得：，

则函数的解析式为，

函数有三个不同的零点，

则函数与函数有三个不同的交点，

注意到，

绘制函数图像如图所示，考查如图所示的临界情况，

当函数与函数只有两个交点时：

若一次函数过点，则：且,解得；

若一次函数过点，则：且,解得；

若一次函数与二次函数在区间内相切，

由可得，

设切点坐标为，则切线的斜率为：，

切线方程为：，

整理可得：，

由于，考查一次函数斜率与轴截距的关系可得：

，解得：，

则切线的斜率为：.

综上可得：实数的取值范围是.