【题目】已知单调递增的等比数列满足
,且
是
的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,对任意正数数
,
恒成立,试求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过是
的等差中项可知
,结合
,可知
,进而通过解方程
,可知公比
,从而可得数列
的通项公式;(Ⅱ)通过(Ⅰ)
,利用错位相减法求得
,对任意正整数
恒成立等价于
对任意正整数
恒成立,问题转化为求
的最小值,从而可得
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设等比数列的首项为
,公比为
依题意,有
,
代入,得
,因此
,
即有解得
或
又数列单调递增,则
故
.
(Ⅱ) ①
②
①-②,得
对任意正整数
恒成立.
对任意正整数
恒成立,即
恒成立,
,即
的取值范围是
.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和,以及不等式恒成立问题,属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项 的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
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【题目】已知圆,圆
(1)若圆、
相交,求
的取值范围;
(2)若圆与直线
相交于
、
两点,且
,求
的值;
(3)已知点,圆
上一点
,圆
上一点
,求
的最小值的取值范围.
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【题目】某企业生产一种产品,质量测试分为:指标不小于90为一等品,不小于80小于90为二等品,小于80为三等品,每件一等品盈利50元,每件二等品盈利30元,每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下:
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.
(Ⅰ)求出甲生产三等品的概率;
(Ⅱ)求出乙生产一件产品,盈利不小于30元的概率;
(Ⅲ)若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件,估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元?
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【题目】已知函数相邻两对称轴间的距离为
,若将
的图象先向左平移
个单位,再向下平移1个单位,所得的函数
为奇函数.
(1)求的解析式,并求
的对称中心;
(2)若关于的方程
在区间
上有两个不相等的实根,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,其离心率
,点P为椭圆上的一个动点,
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点,
,求
的取值范围.
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【题目】已知函数(
是非零实常数)满足
,且关于
的方程
的解集中恰有一个元素.
(1)求的值;
(2)在直角坐标系中,求定点到函数
图像上任意一点
的距离
的最小值;
(3)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AC,PA⊥AB,PA=AB,,
,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值.
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