Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点，,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，面积最大，再根据 椭圆的离心率为

可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围

试题解析：(1）由题意得，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值

此时

所以

因为

所以，

所以椭圆方程为

（2）由（1）得椭圆方程为，则的坐标为

因为，所以

①当直线与中有一条直线斜率不存在时，易得

②当直线斜率存在且，则其方程为，设，

则点、的坐标是方程组的两组解

所以

所以

所以

此时直线的方程为

同理由可得

令，则，

因为，所以

所以

综上