Question

3．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；
（1）求MN的长；
（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？

Answer 1

分析 （1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．
（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．

解答 解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．
∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，
∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
可得MN∥EF且MN=$\frac{2}{3}$EF，
∵EF为△BCD的中位线，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{1}{3}$BD=2；
（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．

点评 本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于中档题．