Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，A，B，C都是抛物线上的点，满足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，则k_AB+k_BC+k_AC=（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、1
• D、不能确定

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），依题意，知F为三角形ABC的重心，于是有

x1+x2+x3

3

=0，利用“点差法”可求得k_AB=

x1+x2

2p

，k_BC=

x2+x3

2p

，k_AC=

x1+x3

2p

，从而可得答案．

解答： 解：∵抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），因向量

FA

+

FB

+

FC

=

0

，则F为三角形ABC的重心．
故

x1+x2+x3

3

=0，

y1+y2+y3

3

=

p

2

，
又x12=2py₁，x22=2py₂，
两式相减，得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂），
所以，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2p

；
同理可得，k_BC=

x2+x3

2p

，k_AC=

x1+x3

2p

，
所以，k_AB+k_BC+k_AC=

2(x1+x2+x3)

2p

=0，
故选：A．

点评：本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，考查“点差法”与三角形的“重心”的坐标表示，求得k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2p

是关键，是好题．