Question

8．已知f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为1+$\frac{1}{2}$ln2．

Answer 1

分析 f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，得到f^-1（x）=$\frac{1}{2}$lnx，g^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$，够造函数h（x）=h（x）=g^-1（x）-f^-1（x），则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．

解答 解：∵f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，
∴f^-1（x）=$\frac{1}{2}$lnx，g^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$，
令h（x）=g^-1（x）-f^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$lnx，
则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，
∵h′（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2x}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$
∵当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，h′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，h′（x）＞0，
故当x=$\frac{1}{2}$时，h（x）取最小值1-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$ln2，
故答案为：1+$\frac{1}{2}$ln2

点评 本题考查的知识点是反函数，利用导数法求函数的最值，其中将求b-a的最小值，转化为h（x）的最小值，是解答的关键．