Question

18．如图，四棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB
（2）（文）求四面体N-BCM的体积．
（理）求二面角N-AM-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）证线面平行，可找线线平行，也可找面面平行．
（2）文：在梯形ABCD中计算出△BCM的面积，四面体的高为N到平面BCM的距离，意题意，高为PA的一半，用三棱锥的体积公式求得四面体N-BCM的体积．
理：找出二面角的平面角，解构造的直角三角形即可．

解答 解：（1）解法一：
由已知得AM=$\frac{2}{3}$AD=2，取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC 的中点，
知TN∥BC，TN=$\frac{1}{2}$BC=2    …3分
又AD∥BC，故TN平行且等于AM，
∴四边形AMNT为平行四边形，
∴MN∥AT
又∵AT?平面PAB，MN?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．…6分
解法二：
取BC的中点E，连接EN，EM，则BE=2
由已知得AM=$\frac{2}{3}$AD=2，
∴AM=BE
∵AD∥BC
∴AM平行且等于BE．
∴四边形ABEM为平行四边形，
∴EM∥AB   …①…2分
又N，E分别为PC，BC的中点
∴NE∥PB  …②…3分
由①，②且EM∩NE=E，AB∩PB=B，
∴平面MEN∥平面PBA，…5分
又 MN?平面MEN，
∴MN∥平面PAB．…6分
（2）（文）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
∴N到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}PA$…（8分）
取BC的中点E，连结AE．由AB=AC=3得AE⊥BC，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由AM∥BC得M到BC的距离为$\sqrt{5}$，故S_△BCM=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$=$2\sqrt{5}$．  …10分
∴四面体N-BCM的体积V_N-BCM=$\frac{1}{3}$×${S}_{△BCM}×\frac{1}{2}PA$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$…（12分）
（理）过点N作AC的垂线交AC于H点，则H为AC中点，
∴NH∥PA
∴NH⊥平面ABCD．
过H作AD垂线，垂足为K，
三垂线定理知AD⊥HK
则∠NKH为所求，
NH=2，KH=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，所求正切值为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的判断，三棱锥体积求解，二面角的求法．属于中档题．