Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=a_n+P•3ⁿ+1（n∈N^*，P为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（1）求P的值及数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{n^2}{{{a_n}-n}}$，试证明：b_n≤$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=a_n+P•3ⁿ+1（n∈N^*，P为常数），可得a₂=5+3P，a₃=6+12P．由a₁，a₂+6，a₃成等差数列，可得2（a₂+6）=a₁+a₃，代入解得P．由a_n+1-a_n=2•3ⁿ+1，利用“累加求和法”、等比数列的求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{n^2}{{{a_n}-n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{3}^{n}}$，作差b_n+1-b_n即可得出单调性．

解答 （1）解：数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=a_n+P•3ⁿ+1（n∈N^*，P为常数），
∴a₂=5+3P，a₃=5+3P+9P+1=6+12P，
∵a₁，a₂+6，a₃成等差数列，∴2（a₂+6）=a₁+a₃，
∴2（11+3P）=4+6+12P，解得P=2．
∴a_n+1-a_n=2•3ⁿ+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2（3^n-1+3^n-2+…+3）+（n-1）+4
=$2×\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$+n+3=3ⁿ+n．
（2）证明：b_n=$\frac{n^2}{{{a_n}-n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{3}^{n}}$，
b_n+1-b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}}{{3}^{n}}$=$\frac{-2{n}^{2}+2n+1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{-2（n-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}{{3}^{n+1}}$，
当n=1时，b₁＜b₂；
n≥3时，b_n+1＜b_n，
∴b_n≤b₂=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累加求和法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．