Question

8．把1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展开成关于x的多项式，其各项系数和为f（n），则不等式f（n）≥n²+2的解集为（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [0，1]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 利用赋值法，通过x=1直接求出展开式各项系数和f（n）的值，代入f（n）≥n²+2，利用导数可得不等式f（n）≥n²+2的解集为[1，+∞）．

解答 解：当x=1时，1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展开成关于x的多项式，其各项系数和为f（n）=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{1×（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1，
代入f（n）≥n²+2，得2ⁿ⁺¹-1＞n²+2，即2ⁿ⁺¹＞n²+3，
令g（n）=2ⁿ⁺¹-n²-3，g′（n）=2ⁿ⁺¹ln2-2n，当n≥1时，g′（n）≥0，g（n）在[1，+∞）上为增函数，
又g（1）=2²-1-3=0，
∴不等式f（n）≥n²+2的解集为[1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查二项式定理的应用，赋值法以及数列求和的基本方法，考查计算能力，是中档题．