Question

以下有关平面向量的结论：
①

a

•

b

=

a

•

c

⇒

b

=

c

；
②(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0⇒|

a

|=|

b

|；
③

OA

+x

OB

+y

OC

=

0

，且1+x+y=0⇒A，B，C三点共线；
④(

a

•

b

)•

c

=

a

•(

b

•

c

)；
⑤

a

•

b

=|

a•

b

|⇒

a

=

b

，
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据平面向量的数量积运算、模的运算性质和平面向量基本定理，对五个选项逐个加以判断，并且结合举反例和直接证明的方法，可得只有选项②、③是正确的，由此可得本题的答案．

解答：解：因为当

b

⊥

a

且

c

⊥

a

时，有

a

•

b

=

a

•

c

=0，但不能得出

b

=

c

的结论，故①不正确；
由(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，可得

a

2-

b

2=0，即

a

2=

b

2，所以|

a

|=|

b

|成立，故②正确；
根据

OA

+x

OB

+y

OC

=

0

，得

OA

=-x

OB

-y

OC

，
∵1+x+y=0，∴

OA

=-x

OB

+(1+x)

OC

，
化简得

OA

-

OC

=x（

OC

-

OB

），即

CA

=x

BC

，可得A，B，C三点共线故③正确；
因为(

a

•

b

)•

c

=λ

c

，是一个与

c

共线的向量，而

a

•(

b

•

c

)=μ

a

，是一个与

a

共线的向量．
所以等式(

a

•

b

)•

c

=

a

•(

b

•

c

)不一定成立，故④不正确；
若

a

•

b

=|

a•

b

|，说明向量

a

、

b

共线且同向，不一定相等，故⑤不正确．
故正确的选项只有②③，2个
故答案为：B

点评：本题给出平面向量的几个命题，叫我们找出其中的真命题，着重考查了平面向量的数量积运算、模的运算性质和平面向量基本定理等知识，属于基础题．