Question

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，

（1）用向量法证明：E、F、G、H四点共面；

（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（+++）.

Answer 1

证明：(1)设=a,=b, =c则

=-=(c-a),

==(+)-(+)

=(-)=(c-a).

∴=,故EH∥FG，

即E、F、G、H四点共面.

(2)=-=c-a=2

即BD∥EH.EH面EFGH，

BD面EFGH  ∴BD∥面EFGH.

(3)=-=a-,=-=b-,

=-=c-.

+++=-+a+b+c-3=a+b+c-4.

而a+b+c=(a+b+c)×2=(2+2)×2=2(+)

=2×2=4.

故+++=4-4=4.

即=（+++）得证.