Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．
（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；
（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程．
（2）设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．

解答：解：（1）把圆C的方程化为标准方程为（x+1）²+（y-2）²=4，∴圆心为C（-1，2），半径r=2．
当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
则

|-k-2+3-k|

1+k2

=2，解得k=-

3

4

．∴l的方程为y-3=-

3

4

（x-1），即3x+4y-15=0．
综上，满足条件的切线l的方程为x=1，或3x+4y-15=0．
（2）设P（x，y），则|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，|PO|²=x²+y²．
∵|PM|=|PO|，∴（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，整理，得2x-4y+1=0，
∴点P的轨迹方程为2x-4y+1=0．

点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，注意分类讨论；直线和圆相切的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及求轨迹方程的方法，属于中档题．