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如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E、F、G分别为AC,AA1,AB的中点.
①求证:B1C1∥平面EFG;
②求FG与AC1所成的角;
③求三棱锥B1--EFG的体积.
分析:①欲证B1C1∥平面EFG,只需在平面EFG内找一直线与B1C1平行,E,F为△AB,AC中点,则GE∥BC,从而B1C1∥GE,而GE?平面GEF,B1C1?平面GEF,满足线面平行的判定定理所需条件;
②取A1C1的中点M,连接MF,GM,根据中位线可知AC1∥MF,则∠MFG为FG与AC1所成的角,然后在三角形MGF中求出此角即可;
③C1与B1到平面EFG的距离相等则VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF,然后根据GE⊥平面C1EF可知GE为高,最后根据锥体的体积公式解之即可.
解答:解:①E,F为△AB,AC中点,∴GE∥BC.
∵B1C1∥BC,∴B1C1∥GE,
∵GE?平面GEF,B1C1?平面GEF,
∴B1C1∥平面EFG  
②取A1C1的中点M,连接MF,GM,
根据中位线可知AC1∥MF
∴∠MFG为FG与AC1所成的角
∵MF=
2
,GF=
3
,MG=
5

∴∠MFG=90°
∴FG与AC1所成的角为90°.
③∵B1C1∥平面EFG,∴C1与B1到平面EFG的距离相等.  
VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B1C1⊥A1C1,B1C1⊥C1C1,A1C1∩C1C=C1
∴B1C1⊥平面C1CA1
∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF
GE=
1
2
BC=1
SC1EF=2×2-
1
2
(1×2+1×1+1×2)=
3
2

VB1-EFG=
1
3
×
3
2
=
1
2
点评:本题主要考查了线面平行的判定,以及异面直线所成角和体积的度量,属于中档题.
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[
π
3
π
2
)
[
π
3
π
2
)

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