Question

16、如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别是A₁B和B₁C₁的中点．
（1）求证：BC∥平面MNB₁；
（2）当AC=AA₁时，求证：平面MNB₁⊥平面A1CB．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的几何特征，易得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，然后由线面平行的判定定理得到BC∥平面MNB₁；
（2）连接AC₁，由AC=AA₁，得四边形ACC₁A₁是正方形，结合，∠ACB=90°，M，N分别是A₁B和B₁C₁的中点．我们易得BC⊥平面ACC₁A₁，连接AB₁，则A₁B与AB₁的交点即为AB₁的中点M，故MN∥AC₁，由线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A₁BC，再由面面垂直的判定定理得到平面MNB₁⊥平面A₁CB．

解答：证明：∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁?平面MNB₁，BC?平面MNB₁，
∴BC∥平面MNB₁；
（2）连接AC₁，由AC=AA₁，得四边形ACC₁A₁是正方形
∴AC₁⊥A₁C，
直三棱柱中CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．
∵A₁C∩BC=C
∴AC₁⊥平面A₁BC
连接AB₁，则A₁B与AB₁的交点即为AB₁的中点M，
又∵N是B₁C₁的中点，
∴MN∥AC₁，
∴MN⊥平面A₁BC且MN?B₁MN
∴平面MNB₁⊥平面A₁CB．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握直三棱柱的几何特征，熟练掌握空间直线与平面之间位置的判定、性质是解答本题的关键．