Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx(a＞0)．
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若a≠

1

2

，求函数f（x）的单调区间；
（3）当

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用导数符号判断函数单调性，由单调性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的单调区间；
（3）用导数求出函数f（x）在区间[1，2]上最大值，由最大值符号可作出判断．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f(x)=

1

4

x2-2x+2lnx(x＞0)，
f′（x）=

x

2

-2+

2

x

=

(x-2)2

2x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）=-

7

4

．
（2）∵f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．   
即 f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．  
∵

1

a

-2=

1-2a

a

，∵a＞0，a≠

1

2

∴当0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得2＜x＜

1

a

；
当a＞

1

2

时，

1

a

＜2，由f′（x）＞0得0＜x＜

1

a

或x＞2，由f′（x）＜0，得

1

a

＜x＜，2；
所以当0＜a＜

1

2

时，f（x）的单调递增区间是（0，2]和[

1

a

，+∞)，单调递减区间是[2，

1

a

]；
当a＞

1

2

时，f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

]和[2，+∞），单调递减区间是[

1

a

，2]．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
当

1

2

＜a＜1时，f（x）在[1，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，2]上单调递减，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知，lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，则f（x）_max＜0，
故在区间[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故当a＞

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．

点评：本题考查函数的零点及应用导数研究函数的单调性问题，属中档题．