Question

（本题满分14分）以下是有关椭圆的两个问题：
问题1：已知椭圆，定点A(1, 1)，F是右焦点，P是椭圆上动点，则有最小值；
问题2：已知椭圆，定点A (2, 1)，F是右焦点，
P是椭圆上动点，有最小值；

(Ⅰ)求问题1中的最小值，并求此时P点坐标；
(Ⅱ)试类比问题1，猜想问题2中的值，并谈谈你作此猜想的依据．

Answer 1

．⑴，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；
⑵时|PA|+m|PF|="|PA|+med" =|PA|+d，当P、A、B三点共线时，有最小值．

本试题主要是考查了椭圆中距离的最值问题的求解，
（1）在第一问题中利用第二定义可知
故，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；
（2）猜想（8分）②理由：问题1中的数是椭圆的离心率的倒数，猜想问题2中的常数m也是椭圆离心率的倒数，也用上述的方法得到结论。
解：⑴注意到椭圆的离心率，右焦点F()，右准线．过点P作准线的垂线，垂足为M，由椭圆第二定义，
故，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；（6分）
⑵①猜想（8分）②理由：问题1中的数是椭圆的离心率的倒数，猜想问题2中的常数m也是椭圆离心率的倒数（9分）
另一方面，从解题角度来看，问题1利用椭圆的第二定义，问题2也可利用类似方法解决最小值问题：设点P到椭圆的右准线距离为d，由椭圆第二定义，|PF|=ed，则|PA|+m|PF|=|PA|+med．当me=1，即时|PA|+m|PF|="|PA|+med" =|PA|+d，当P、A、B三点共线时，有最小值．（14分）（配合图像说明）