Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对任意的x＞0，y＞0．都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)恒成立，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）探究f（x）在（0，+∞）上是否具有单调性；
（3）你能找出符合本题条件的一个函数吗？请将你找到的函数写出来．

Answer 1

分析：（1）由题意给式中的x，y特殊的值可得f（1）的值；
（2）由单调性的定义结合题干可证函数的单调性；
（3）由条件和结论，可找到对数函数y=log₂x符合题意．

解答：解：（1）由题意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
所以所求的值为：f（1）=0
（2）设0＜x₁＜x₂，令x=x₁，y=x₂，
则f(

x2

x1

)=f(x2)-f(x1)，∵0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）由条件和结论，可找到函数y=log₂x符合题意．

点评：本题为抽象函数问题，解决问题的关键是利用好函数的性质，属中档题．