Question

【题目】曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1： ．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为 时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y）

由题意可得， ，

整理得 ，

则曲线C的方程为 ；

（2）解：当l斜率不存在时，l方程为x=1，

此时l与C的交点分别为 ， ，

即有 ，

则 ，

由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），

由 ，

得 ， ，

∴ ．

设O到l的距离为d，则 ，

∴ ，

解得k=±1．

综上所述，当△ABO面积为 时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

【解析】（1）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；（2）当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积；由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．