Question

3．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱B₁C₁，A₁D₁的中点，求证：平面ABB₁A₁与平面CDFE相交．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DCEF的法向量和平面ABB₁A₁的法向量，利用向量法能证明平面ABB₁A₁与平面CDFE相交．

解答 证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则D（0，0，0），C（0，2，0），F（1，0，2），
$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（1，0，2），
设平面DCEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
又平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴平面ABB₁A₁与平面CDFE相交．

点评 本题考查两平面相交的证明，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．