Question

（2011•江西模拟）设a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)满足f(-

π

3

)=f(0)，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（x）在（0，B]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及f(-

π

3

)=f(0)，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用余弦定理化简

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，通过正弦定理求出cosB=

1

2

，推出B的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x．
由f(-

π

3

)=f(0)得-

3

2

•

a

2

+

1

2

=-1，解得a=2

3

．
因此f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z
故函数f（x）=的单调递增区间[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ](k∈Z)（6分）
（Ⅱ）由余弦定理知：

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

2accosB

2abcosC

=

ccosB

bcosC

=

c

2a-c

即2acosB-ccosB=bcosC，
又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
即cosB=

1

2

，所以B=

π

3

当x∈(0，

π

3

]时，2x-

π

6

∈(-

π

6

，

π

2

]，f（x）∈（-1，2]
故f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]（12分）

点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．