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(2011•江西模拟)已知数列{an},{bn}分别是等差、等比数列,且a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4
①求数列{an},{bn}的通项公式;
②设Sn为数列{an}的前n项和,求{
1
Sn
}的前n项和Tn
③设Cn=
anbn
Sn+1
(n∈N),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn
分析:①直接利用a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4.求出公差d和公比q,即可求数列{an},{bn}的通项公式;
②直接代入等差数列的求和公式得Sn,再利用裂项相消求和法求{
1
Sn
}的前n项和Tn
③先对Cn进行整理,再利用裂项相消求和法即可求Rn
解答:解:①设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意
1+d=q
1+3d=q2
q≠1
q=2
d=1

∴an=1+(n-1)×1=n;
bn=1×2n-1=2n-1.(4分)
②∵sn=
n(n+1)
2
1
sn
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
).
∴Tn=
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn

=2[(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]
=2(1-
1
n+1

=
2n
n+1
.(8分)
③∵Cn=
n•2n-1
(n+1)(n+2)
2
=
n•2n
(n+1)(n+2)
=
2n+1
n+2
-
2n
n+1

∴Rn=C1+C2+…+Cn
=(
22
3
-
21
2
)+(
23
4
-
22
3
)+…+(
2n+1
n+2
-
2n
n+1

=
2n+1
n+2
-1.
点评:本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项相消求和法,是对基础知识的综合考查,属于中档题.本题的难点在与第三问的裂项.
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(2011•江西模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=
3
bc
sinC=2
3
sinB
,则A=(  )

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(2011•江西模拟)已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
(n∈N*),a2011=
1
2011

(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=
4
an
-4023
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)
,求证:c1+c2+…+cn<n+1.

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(3)给出如下定义:对于函数y=F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果对于函数y=F(x)图象上的点M(x0,y0)(其中x0=
x1+x22
)
总能使得F(x1)-F(x2)=F'(x0)(x1-x2)成立,则称函数具备性质“L”,试判断函数f(x)是不是具备性质“L”,并说明理由.

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(2011•江西模拟)设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)
满足f(-
π
3
)=f(0)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
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a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
,求f(x)在(0,B]上的值域.

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