Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx（注：ln2≈0.693）
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，若直线y=b与函数y=f（x）的图象在[

1

2

，2]上有两个不同交点，求实数b的取值范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解之即可；
（2）把a=1代入函数f（x），将直线y=b和函数y=f（x）联立方程，判断其在[

1

2

，2]上有两个不同交点，研究其导数得出不等式；
（3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x=

n

n-1

，易得ln

n

n-1

＞

1

n

，然后利用此不等式进行放缩证明；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

，∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）＞0，在[1，+∞）上恒成立，
∴

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

≥0，化简得，-

1

ax2

+

1

x

≥0，可得a≤

1

x

，求出

1

x

的最大值，

1

x

≤1，
∴a≤1；
（2）a=1，可得f（x）=

1-x

x

+lnx，y=b，
若直线y=b与函数y=f（x）的图象在[

1

2

，2]上有两个不同交点，
等价于方程b=

1-x

x

+lnx，在[

1

2

，2]上有两个不同交点，
∴令g（x）=

1-x

x

+lnx-b，g（x）在[

1

2

，2]上有两个不同交点，
g′（x）=

x-1

x2

，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
若0＜x＜1，g′（x）＞0，g（x）为减函数；
∴

g( 1 2 )≥0 g(2)≥0 g(1)＜0

，解得0＜b≤ln2-

1

2

，
（3）当a=1时，f（x）=f（x）=

1-x

x

+lnx，在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
f（

1

n-1

）=

1- n n-1

1 n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

1

n-1

＞

1

n

，
∴lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

；

点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，会根据函数的增减性证明不等式，是一道综合题．