Question

(文)已知函数f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d有两个极值点x₁＝1，x₂＝2，且直线y＝6x＋1与曲线y＝f(x)相切于P点．

(1)求b和c

(2)求函数y＝f(x)的解析式；

(3)在d为整数时，求过P点和y＝f(x)相切于一异于P点的直线方程．

Answer 1

答案：
解析：

(文)解：(1)设直线y＝6x＋1，和y＝x3＋bx2＋cx＋d相切于点P(x0，y0) 　　∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1＝1，x2＝2， 　　于是f'(x)＝3x2＋2bx＋c＝3(x－1)(x－2)＝3x2－9x＋6 　　从而b＝－，c＝6 　　(2)又f(x)＝x3－x2＋6x＋d，且P(x0，y0)为切点，则 　　由③求得x0＝0或x0＝3，由①②联立知d＝1＋x02－x03．在x0＝0时，d＝1；在x0＝3 　　时，d＝∴f(x)＝x3－x2＋6x＋1，或f(x)＝x3－x2＋6x＋ 　　(3)当d为整数时，d＝1符合条件，此时P为(0，1) 　　设过P(0，1)的直线l：y＝kx＋1和y＝x3－x2＋6x＋1，相切于另一点(x1，y1)．则 　　由④⑤及x1≠0，可知：kx1＝x13－x12＋6x1即k＝x12－x1＋6 　　再联立⑥可知k＝x12－x1＋6＝3x12－9x1＋6，又x1≠0， 　　∴x1＝，此时k＝故切线方程为：y＝x＋1