Question

（2008•青浦区一模）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在第二象限，半径为2

2

且与直线y=x相切于原点O．椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）圆C上是否存在点Q，使O、Q关于直线CF（C为圆心，F为椭圆右焦点）对称，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆的切线的性质可知，圆心所在直线与切线垂直，又因为圆过原点，半径为2

2

，即可求出圆方程．
（2）又椭圆的定义可求出椭圆方程，假设圆C上存在点Q，使O、Q关于直线CF对称，根据圆方程和椭圆方程求出直线CF的方程，设出Q点的坐标，因为O、Q关于直线CF对称，所以直线OQ垂直于直线CF，斜率等于直线CF斜率的负倒数，且O，Q的中点在直线CF上，满足直线CF的方程，据此，即可求Q点坐标，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．

解答：解：（1）由题意知：圆心（-2，2），半径2

2

，圆C：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）由条件可知a=5，椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，
∴F（4，0）
若存在，直线CF的方程的方程为y=-

1

3

(x-4)即x+3y-4=0
设Q（x，y），则

y x =3 x 2 + 3y 2 -4=0

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，所以存在点Q，Q的坐标为(

4

5

，

12

5

)．

点评：本题主要考查了圆的切线的性质，圆的标准方程的求法，以及解析几何中的对称性问题，属于常规题．