Question

(本小题满分12分）

已知直线l₁：4x:－3y＋6=0和直线l₂：x＝－，.若拋物线C:y²=2px上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2.

(I )求抛物线C的方程；

(II)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且AA₁，BB₁都垂直于直线l₂，垂足为A₁，B₁，直线l₂与y轴的交点为Q，求证：为定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）= 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）为抛物线的准线，焦点为，由抛物线的定义知，抛物线上的点到直线的距离等于其到焦点的距离，

抛物线上的点到直线的距离与到焦点的距离之和的最小值为焦点到直线的距离……3分

所以，

所以抛物线的方程为……………5分

（Ⅱ）设，,

设:，则

得

所以，，

，

……………7分

又

………………10分

=……………12分

考点：本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何意义，直线与抛物线的位置关系。

点评：中档题，本题求抛物线的标准方程，主要运用的是抛物线的几何性质，注意明确焦点轴和p的值。研究直线与抛物线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。