Question

【题目】已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+ ， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），动点C（x，y），
由 ，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2 ．
OA：y= = ；OB：x=x2；
由 可得y= ，
即点C的轨迹方程为y=﹣ ．
（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，
由 可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，
∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），
又由 ，可得Q（ ），
=（pk，﹣m﹣ ）（ ）
=﹣ （p+2m）+pm+ =0，可得FP⊥FQ，
∴以线段PQ为直径的圆过点F
【解析】（Ⅰ）判断直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+ ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），动点C（x，y）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x1x2═﹣p2 ． 求出OA；OB方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m的方程为：y=kx+m，由 ，得△=4p2k2+8pm，利用直线m与抛物线相切，得P（pk，﹣m），求出Q（ ），通过 =0，说明以线段PQ为直径的圆过点F．