Question

已知函数f(x)=x-a

x

+lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=5时，f(x)=x-5

x

+lnx，∴f′(x)=1-

5

2 x

+

1

x

(x＞0)，=

2x-5 x +2

2x

=

(2 x -1)( x -2)

2x

x	o＜x＜ 1 4	x= 1 4	1 4 ＜x＜4	x=4	x＞4
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值f( 1 4 )	递减	极小值f（4）	递增

∴，f(x)极大=-

9

4

-ln4，f（x）_极小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即1-

a

2 x

+

1

x

≥0(x＞0)…（8分）∴

1

2

a≤

x

+

1

x

又

x

+

1

x

≥2（当且仅当x=1时，

x

+

1

x

=2）∴(

x

+

1

x

)min=2…（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令t=

1

x

，则：g(t)=f′(x)=1-

a

2

t+t2≥0(t＞0)

a 4 ≤0 g(0)≥0

或      

a 4 ＞0 g( a 4 )≥0

解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]