Question

已知
（1）求的值；
（2）当x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）当f（x-2）+f（4-3x）≥0时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

Answer 1

解：（1）令，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
又f（-x）===-=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以=-=0．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则-=．
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以-＞0，即＞．
所以在（-1，1）上为减函数，也在（-t，t]上为减函数，
①当a＞1时，y=log_at单调递增，t=单调递减，所以y=在（-t，t]上单调递减，
此时f（x）存在最小值为f（t）=．
②当0＜a＜1时，y=log_at单调递减，t=单调递减，所以y=在（-t，t]上单调递增，
此时f（x）不存在最小值．
综①②知，当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=．
（3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化为f（x-2）≥-f（4-3x），
由（1）知f（x）为奇函数，所以f（x-2）≥f（3x-4），
①当a＞1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为减函数，
所以，解得1＜x＜．
②当0＜a＜1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为增函数，
所以，解得为∅．
综①②得满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围为：（1，）．
分析：（1）由所求表达式的特点知，可判断函数的奇偶性；
（2）根据复合函数单调性的判定方法判断f（x）的单调性，由单调性可讨论f（x）的最小值情况；
（3）利用f（x）的奇偶性把f（x-2）+f（4-3x）≥0可化为f（x-2）≥f（3x-4），再利用f（x）的单调性即可解出不等式．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生分析问题解决问题的能力．