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    已知函数f(x)=
    x2
    1+x2

    （1）求f（2）与f(
    1
    2
    )    ，f（3）与f(
    1
    3
    )    的值；
    （2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f(
    1
    x
    )    有什么关系？证明你的发现；
    （3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
    1
    2
    )+f(
    1
    3
    )+    …+f(
    1
    2012
    )    的值．
    分析：（1）直接代入计算即可；
    （2）发现f（x）+f(
    1
    x
    )    =1，代入化简即可证明；
    （3）利用（2）的结论即可得出．
    解答：解：（1）f（2）=
    22
    1+22
    =
    4
    5
    ，f(
    1
    2
    )    =
    (
    1
    2
    )2
    1+(
    1
    2
    )2
    =
    1
    5
    ；
    f(3)=
    32
    1+32
    =
    9
    10
    ，f(
    1
    3
    )=
    (
    1
    3
    )2
    1+(
    1
    3
    )2
    =
    1
    10
    ．
    （2）由（1）可得：f(x)+f(
    1
    x
    )=1    ，证明如下：
    f(x)+f(
    1
    x
    )    =
    x2
    1+x2
    +
    (
    1
    x
    )2
    1+(
    1
    x
    )2
    =
    x2
    1+x2
    +
    1
    1+x2
    =
    x2+1
    1+x2
    =1    ．
    （3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(
    1
    2
    )+f(
    1
    3
    )+    …+f(
    1
    2012
    )
    =f（1）+[f(2)+f(
    1
    2
    )]    +[f(3)+f(
    1
    3
    )]    +…+[f(2012)+f(
    1
    2012
    )]
    =
    1
    2
    +2011    =
    4023
    2
    ．
    点评：本题考查了分式的化简与证明、探究发现规律即证明应用，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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