Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（1）求B．
（2）若sinAsinC= ，求C．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB= =﹣ ，

又B为三角形的内角，

则B=120°；

（2）解：由（1）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× = ，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

则C=15°或C=45°．

【解析】（1）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由（1）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的正弦公式和余弦定理的定义，需要了解两角和与差的正弦公式：；余弦定理:;;才能得出正确答案．