Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，椭圆C过点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（I）求椭圆C的方程以及离心率；
（Ⅱ）若过点F₁的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点B坐标为（2，0），求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得c=1，将A代入椭圆方程，解得a，b，c，进而得到椭圆方程和离心率；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，代入椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，化简整理，再由函数的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由题意可得2c=2，即c=1，
又C过点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得（2+m²）y²-2my-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
判别式为4m²+4（2+m²）＞0恒成立，
y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
即有$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=（x₁-2，-y₁）•（x₂-2，-y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（my₁-3）（my₂-3）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9
=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）-3m（$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+9=$\frac{17+2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$
=2+$\frac{13}{2+{m}^{2}}$，当m=0，即l：x=-1时，
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$取得最大值$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和离心率的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查向量的数量积的最大值，注意设出直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，以及函数的最值求法，属于中档题．