Question

7．在△ABC中，S为△ABC的面积，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，S=$\frac{1}{4}$（b²+c²），则∠B=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由三角形面积公式及已知可得sinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$，结合基本不等式可得sinA≥1，又0＜sinA≤1，从而可得∠A=90，又b=c，即可解得B的值．

解答 解：∵△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
又∵4S=b²+c²，
∴2bcsinA=b²+c² 即sinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$，
又∵b²+c²≥2bc 当b=c时取等号，
∴sinA≥1，
又∵0＜sinA≤1，
∴sinA=1 即∠A=$\frac{π}{2}$，且b=c，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．