Question

12．已知函数f（x）=cos2x+cos²x，求
（1）周期；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，求值域．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，从而求出周期T的值；（2）根据x的范围，求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）f（x）=cos2x+cos²x
=cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
显然2x=π，f（x）最小，最小值是-1，
2x=$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$时，f（x）最大，最大值是$\frac{5}{4}$，
故f（x）的值域是[-1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了求函数的周期问题，考查函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．