Question

16．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₂S₂=16，b₃S₃=60．
求：（1）数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对于任意n∈N^*，都有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜m，试求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≥0，数列{b_n}的公比为q；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{q（6+d）=16}\\{{q}^{2}（9+3d）=60}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）由（1）知S_n=n（n+2），从而化简并利用裂项求和法求和即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≥0，数列{b_n}的公比为q；
则S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$d，b_n=q^n-1，
故$\left\{\begin{array}{l}{q（6+d）=16}\\{{q}^{2}（9+3d）=60}\end{array}\right.$，
解得，q=2，d=2；
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2^n-1，
（2）由（1）知，S_n=n（n+2），
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
故m≥$\frac{3}{4}$，
故m的最小值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列的性质的应用，同时考查了方程思想与裂项求和法的应用．