Question

8．设F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的左、右焦点，A₁，A₂分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A₁A₂为直径的圆既与以PF₂为直径的圆外切，又与以PF₁为直径的圆内切．

Answer 1

分析 分别求出以A₁A₂为直径的圆、以PF₁为直径的圆和以PF₂为直径的圆的圆心和半径，运用中位线定理和双曲线的定义，结合两圆相切的条件即可得证．

解答 证明：以A₁A₂为直径的圆为圆心为原点O，半径为a的圆；
以PF₂为直径的圆的圆心设为M，半径为$\frac{1}{2}$PF₂的圆；
以PF₁为直径的圆的圆心设为N，半径为$\frac{1}{2}$PF₁的圆；
由双曲线的定义可得PF₁-PF₂=2a，
即有$\frac{1}{2}$PF₁-$\frac{1}{2}$PF₂=a，
由OM为△PF₁F₂的中位线，可得OM=$\frac{1}{2}$PF₁，
即为OM=a+$\frac{1}{2}$PF₂，可得以A₁A₂为直径的圆既与以PF₂为直径的圆外切；
由ON为△PF₁F₂的中位线，可得ON=$\frac{1}{2}$PF₂，
即为ON=$\frac{1}{2}$PF₁-a，可得以A₁A₂为直径的圆既与以PF₁为直径的圆内切．

点评 本题考查两圆相切的证明，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查推理能力，属于基础题．