Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{n-2}}+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{a}_{n-1}}$（n∈N^*，n≥3），求a₃，a₄．

Answer 1

分析 由题意可判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，从而解得．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{n-2}}+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{a}_{n-1}}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$；
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，
故a_n=$\frac{2}{n+1}$，
故a₃=$\frac{2}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{4+1}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了转化的思想与构造法的应用．