Question

18．对于中心在原点，离心率也相同的n个椭圆，其方程分别为：C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}=1$（0＜λ＜1，a＞0），C₂：$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{4}{a}^{2}}$=1，…，C_n：$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2（n-1）}{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2n}{a}^{2}}$=1，即第i个椭圆的短轴的等于第i+1个椭圆的长轴，则称这n个椭圆为相似椭圆系，并称λ为此相似椭圆系的相似比，若椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，则第3个椭圆C₃的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 根据相似椭圆系的定义，结合已知中椭圆C₁的方程，求出相似椭圆系的相似比λ，进而可得答案．

解答 解：根据相似椭圆系的定义，可得：圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$时，相似椭圆系的相似比λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故第2个椭圆C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
第3个椭圆C₃的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．