Question

2．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F₁F₂，线段F₁N交双曲线C于点Q，且|F₁Q|=|QN|．若|F₁F₂|=λ|MN|（λ＞0），则λ的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 运用双曲线的对称性由条件可设N（$\frac{c}{λ}$，t），由中点坐标公式可得Q的坐标，再由N，Q在双曲线上，满足双曲线的方程，运用离心率大于1，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由2c=|F₁F₂|=λ|MN|（λ＞0），可得
|MN|=$\frac{2c}{λ}$，
由MN∥F₁F₂，可设N（$\frac{c}{λ}$，t），
由|F₁Q|=|QN|，可得
Q为F₁N的中点，可得Q（$\frac{c（1-λ）}{2λ}$，$\frac{t}{2}$），
由N，Q在双曲线上，可得
$\frac{{c}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{c}^{2}（1-λ）^{2}}{4{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{4{b}^{2}}$=1．
由e=$\frac{c}{a}$＞1，移项整理可得，
$\frac{{e}^{2}}{{λ}^{2}}$-1=$\frac{{e}^{2}（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}}$-4，
即有e²•$\frac{{λ}^{2}-2λ}{{λ}^{2}}$=3，
即为$\frac{3λ}{λ-2}$＞1，解得λ＞2或λ＜-1，
由λ＞0，可得λ＞2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，注意运用中点坐标公式和点满足双曲线的方程，以及离心率的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．