Question

12．（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵的展开式中常数项为121．

Answer 1

分析 根据${[1+（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）]}^{5}$ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$，由于${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$的展开式的通项为${C}_{r}^{k}$•2^r-k•x^r-3k，k=0，1，2，…r，k≤r，由此分类讨论求得常数项．

解答 解：（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵ =${[1+（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）]}^{5}$ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$，
r=0，1，2，3，4，5．
由于${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$的展开式的通项为${C}_{r}^{k}$•2^r-k•x^r-3k，k=0，1，2，…r，k≤r，
令r-3k=0，求得r=3k，
当r=0，k=0时，常数项为${C}_{5}^{0}$=1；
当r=3，k=1时，常数项为${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$•2²=120，
故（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵的展开式中常数项为1+120=121，
故答案为：121．

点评 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，解题的关键是得出产生常数项的情况为哪些，是中档题目．