Question

17．已知数列{a_n}，部分和S_n=$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₁+a₂+…+a_n，项a₁=5，且a_n=2S_n-1+7×3ⁿ，求a_n及S_n．

Answer 1

分析 通过a_n=2S_n-1+7×3ⁿ与a_n+1=2S_n+7×3ⁿ⁺¹作差、整理可知a_n+1=3a_n+14×3ⁿ（n≥2），进而可知$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$+14，计算可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}从第二项起是首项为$\frac{73}{3}$、公差为14的等差数列，进而可得通项公式，利用a_n=2S_n-1+7×3ⁿ计算可得前n项和公式．

解答 解：∵a_n=2S_n-1+7×3ⁿ，
∴a_n+1=2S_n+7×3ⁿ⁺¹，
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n+14×3ⁿ，即a_n+1=3a_n+14×3ⁿ（n≥2），
两边同时除以3ⁿ，可知：$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$+14，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1-1}}$=5，$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2-1}}$=$\frac{2{S}_{1}+7×{3}^{2}}{3}$=$\frac{73}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}从第二项起是首项为$\frac{73}{3}$、公差为14的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{73}{3}$+14（n-2）=14n-$\frac{11}{3}$，
∴a_n=（14n-$\frac{11}{3}$）3^n-1（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，}&{n=1}\\{（14n-\frac{11}{3}）×{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
又∵a_n=2S_n-1+7×3ⁿ，
∴3a_n=2S_n+7×3ⁿ，
S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-7×3ⁿ）=$\frac{1}{2}$[3×（14n-$\frac{11}{3}$）×3^n-1-7×3ⁿ]=（7n-$\frac{16}{3}$）×3ⁿ（n≥2），
又∵S₁=a₁=5不满足上式，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，}&{n=1}\\{（7n-\frac{16}{3}）×{3}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．